ثابت کنید در هر مثلث اندازه هر زاویه خارجی با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن برابر است

سوال: ثابت کنید در هر مثلث اندازه هر زاویه خارجی با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن برابر است

پاسخ:

برای اثبات این واقعیت که در هر مثلث، اندازه هر زاویه خارجی با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور با آن برابر است، از یک روش هندسی استفاده می‌کنیم. فرض کنید مثلث ABC داریم و می‌خواهیم این اصل را برای زاویه خارجی در نقطه A اثبات کنیم.

تعریف زاویه خارجی

زاویه خارجی در یک رأس، زاویه‌ای است که بین یک ضلع مثلث و امتداد ضلع مجاور به آن رأس قرار دارد. در این مورد، اگر ضلع BC را به سمت B امتداد دهیم، زاویه خارجی در A ایجاد می‌شود که آن را DAB می‌نامیم.

استفاده از مجموع زاویه‌های مثلث

می‌دانیم که مجموع زاویه‌های داخلی هر مثلث 180 درجه است. بنابراین، زاویه BAC به علاوه زاویه ABC به علاوه زاویه BCA برابر با 180 درجه است.

استفاده از خطوط موازی

امتداد BC که زاویه DAB را ایجاد می‌کند، با AC موازی است. بر اساس قانون زاویه‌های متناوب داخلی، زاویه DAB برابر با زاویه BCA است.

اضافه کردن زاویه ABC به هر دو طرف معادله

ما می‌توانیم زاویه ABC را به هر دو طرف معادله اضافه کنیم. این کار باعث می‌شود که زاویه DAB به علاوه زاویه ABC برابر با زاویه BCA به علاوه زاویه ABC شود.

نتیجه‌گیری

بنابراین، ما نشان دادیم که اندازه زاویه خارجی DAB برابر با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور در مثلث ABC (یعنی زاویه ABC و زاویه BCA) است. این اصل برای هر زاویه خارجی در مثلث صادق است و به همین ترتیب می‌توان برای سایر زوایای خارجی نیز اثبات کرد.